Un problème mathématique

Ce truc là est génial !

Je viens de voir qu'il y a plusieurs articles à ce sujet qui traîne sur internet (ici et là, notamment), mais le gars de la vidéo l'explique très bien.

Il donne aussi la "clef" pour calmer notre indignation mentale : "l'addition" dont il est question n'est pas tout à fait notre concept habituel d'addition (avec laquelle une somme de plusieurs nombres positifs leur est toujours supérieur), mais une autre notion, abstraite, plus large. Ce n'est pas tout à fait suffisant me réconcilier avec ce -1/12 (moi qui croyait en 42...), mais c'est déjà pas mal.

Je trouve étrange l'opposition que tu fais entre "logique" et "mathématique". L'histoire récente de la philosophie (dans le sillage de Frege et de Russell principalement, mais aussi Husserl) semble voir les mathématiques comme un cas particulier de la logique. La logique toute seule est elle aussi capable de te faire dire des étrangetés. Par exemple, si je te parle d'un barbier qui rase tous les habitants d'un village qui ne se rasent pas eux même, et personne d'autre (donc : pas ceux qui se rasent eux-même), spontanément, tu n'y verras pas de problème. Puis, si tu as l'esprit retors, tu te demanderas : se rase-t-il lui même ? Il t'apparaître alors qu'un tel barbier, un barbier qui correspond exactement à cette description, logiquement, ne peut pas exister. (il ne peut pas se raser lui même, puis qu'il ne rase pas ceux qui se rasent eux-même, mais s'il ne se rase pas lui même, alors il est l'un de ceux qui ne se rasent pas eux-même, or, il rase tout ceux qui ne se rasent pas eux-même... conclusion : dans le doute, gardons nos barbes)
Il faut donc bien distinguer la logique de ton sentiment immédiat d'évidence.

Que veux-tu dire par "il n'y a pas de mathématiques à l'état naturel" ? Que s'il n'y avait pas d'humain, ou au moins, pas d'espèce capable de faire des maths, les maths n'existeraient pas ? C'est vrai, dans la mesure où les mathématiques sont un langage artificiel. Mais nous avons perfectionné ce langage pour sa beauté propre, en le corrigeant de l'intérieur, puis nous nous sommes aperçu que ce langage était plus approprié pour décrire ce qui se passait autour de nous que notre langage naturel. Mais les étoiles se mouvaient en accord avec nos descriptions mathématiques avant que nous ayons les "mots" pour le dire, et l'auraient sans doute tout de même fait si nous ne les avions jamais eu.

Que veux-tu dire par "un univers absurde" ? Qui va à l'encontre de la logique, ou bien qui va à l'encontre de ton sentiment d'évidence ? Je ne vois rien qui puisse te faire affirmer le premier cas. Le coup du -1/12 n'est pas contre les règles de la logique, il est simplement contre les règles du cas particulier d'addition auquel tu es habitué. Quand eu deuxième cas... oui ! Il y a bien longtemps que notre description du monde s'oppose à notre sentiment premier d'évidence ! Depuis que l'on parle de terre ronde, au moins (spontanément, comme ça, tu me dirais que le "haut" est un peu partout, et que le "bas" est un point ?).

Je n'oppose pas la logique et les mathématiques, je les relie. Je voulais dire que la logique ne laisse pas de place, dans le sens commun, à l’absurde - ou au paradoxe qui est une sorte d'absurde - ce qui parait légitime. (Pour démonter l'argumentaire d'une personne, soulever un paradoxe dans son discours est parfait. Tout son développement tombe à l'eau parce qu'il n'est pas "logique")
Et les mathématiques étant le reflet parfait du raisonnement logique, donc de la logique en elle-même, ces dernières ne pourraient pas donner des résultats aussi "étranges". Et pourtant comme je disais, la logique peut être absurde parce que même si l'addition est un concept spécifique dans ce cas précis :  1+2=3, 3+2 =5, etc. La somme de deux nombres est plus grande que ceux ci. C'est logique. Mais visiblement pour comprendre le monde dans les faits les plus précis, l'on se doit d'oublier la logique commune est de passer à "l'absurde" qui est pourtant logique (qui se tient, qui est fondé).

C'est exactement ce que j'entendais par "il n'y a pas de mathématique à l'état naturel."

Je me rend compte de chose qui sont, en fait et visiblement, évidente pour un "philosophe" un peu plus aguerri. Mais effectivement c'est ce que je voulais dire. Le monde est absurde par rapport à ce que nous voyons et percevons de la "logique" dans notre monde.

De plus en plus, je fais le lien entre la théorie de la relativité, qui s'occupe du macroscopique et de l'échelle humaine, et la physique quantique qui s'occupe donc du microscopique. Dans la première, il n’existe pas d'équations absurdes pour le sens commun. Tout est "logique". Mais c'est quand on passe au microscopique que tout devient dingue et que un même electron peut être à deux endroits différents dans des temps différents sans que ça gène personne. J'aimerais beaucoup comprendre les implications philosophiques d'une telle chose.

J'ai un peu de mal à comprendre ce que tu veux dire  par "la logique peut être absurde". J'emploie le mot "absurde" comme une négation de "logique", à distinguer assez clairement du sentiment d'impossibilité que la logique doit l'être du sentiment d'évidence. Qu'une chose semble inconcevable au premier regard n'implique pas qu'il y ait réellement une contradiction logique. Par exemple, si je te dis que le pape Paul III est mort à 81 ans mais n'a eu que 20 anniversaires, ta première réaction sera sans doute de crier à l'absurdité. Puis, avant ou après avoir fait un tour sur wikipédia, tu comprendras qu'il est tout simplement né un 29 février, et que tout compte fait, il n'y avait rien d'absurde. Notre premier regard, qui croit voir de l'absurde ici, transpose une règle qu'il a l'habitude de toujours voir vérifiée (tout le monde a son anniversaire tous les ans) à un domaine plus large, dans lequel la règle ne s'applique plus.

Ne penses-tu pas que ça pourrait être la même chose pour notre -1/12 ? Nous utilisons toujours les règles "la somme de plusieurs entiers doit être un entier" et "la somme de plusieurs positifs doit être positive et supérieure à tous ses termes", parce que dans la plupart des cas, elles font l'affaire. Mais on peu imaginer (à condition de ne pas avoir peur de l'abstraction) qu'il y ait des conditions dans lesquels elles cessent de s'appliquer... Exactement de la même manière que notre calendrier grégorien et ses années bissextiles permettent des entraves à notre règle usuelle de "âge = nombre d'anniversaires".
Dire qu'il est "absurde" que la somme de tous les entiers naturels soit -1/12 aurait alors la même justesse que dire "absurde" cette anecdote sur Paul III.

La somme de tous les nombres de N me paraît suffisamment éloigné de l'opération mentale que je fais en comptant ma monnaie pour que les règles ne soient pas exactement les mêmes !

Ces deux règles dont le viol nous choque, "la somme de plusieurs entiers doit être un entier" et "la somme de plusieurs positifs doit être positives et supérieures à tous ses termes", ce ne sont pas des évidence logique. Je ne pense pas que l'on puisse tel quel les déduire du principe de non-contradiction, ou des fondements logiques de mathématique issu de Frege...

De plus en plus, je fais le lien entre la théorie de la relativité, qui s'occupe du macroscopique et de l'échelle humaine, et la physique quantique qui s'occupe donc du microscopique. Dans la première, il n’existe pas d'équations absurdes pour le sens commun. Tout est "logique". Mais c'est quand on passe au microscopique que tout devient dingue et que un même electron peut être à deux endroits différents dans des temps différents sans que ça gène personne. J'aimerais beaucoup comprendre les implications philosophiques d'une telle chose.

Hm, la relativité ne concerne pas tout à fait l'échelle humaine. a moins que tu en considères l'orbite de mercure comme étant à notre échelle ! Dans notre vie de tous les jours, Newton est suffisant...
Et la relativité fait bel et bien violence au sens commun ! En tout cas, en ce qui me concerne, l'absence de simultanéité absolue ne me paraissait pas évidente au premier abord ! A coté, la mécanique quantique, avec son espace et son temps biens droits, paraît très sage !
Ces deux théories sont toute aussi "choquantes" l'une que l'autre. Si la physique quantique garde un peu plus de mystère, c'est parce que nous hésitons toujours entre plusieurs interprétations (ou plutôt, parce que Bohr a semé la confusion dans les esprits, et que trop peu de gens comprennent que c'est Hugh Everett qui a tout compris)

J'adore l'idée d'absurde et effectivement je ne l'utilise pas tout à fait comme toi. (Je devrais probablement mais fuck la vie ^^). L'absurde, pour moi, est bien cette chose qui n'est pas logique, à première vue. Il y a surement possibilité que toutes absurdités devienne logique tout dépend comment l'on place son prisme, son angle de vue pour comprendre cette événement dit absurde.

Oui Newton nous suffit à notre échelle mais la relativité est une version très raffiné de Newton alors ce n'est pas grave si l'on dit que Einstein s'occupe aussi de notre petite échelle.

Ah ouais peut être que j'ai été infecté par notre ami Albert E. parce que l'idée d'absence de simultanéité ne me choque pas plus que ça si l'on vois comment Einstein nous présente l'espace temps ce n'est pas spécialement absurde.

Alors que franchement la même chose à deux endroit différente c'est la chienlit à comprendre. D'ailleurs, je comprends pas.

Tout ça me rappelle un essaie de W.V.O. Quine, the ways of paradox. Il distingue trois types de paradoxe : les véridiques, et falsidiques, et les antinomies.
Un paradoxe véridique va être, par exemple, le coup du barbier, ou de Paul III. On affirme la vérité de quelque chose, puis on se rend compte que ça ne marche pas... On se débarrasse de ce genre de paradoxe tout simplement en reconnaissant comme vrai une chose que l'on pensait être fausse (il est possible d'avoir 81 ans mais 20 anniversaires), ou l'inverse (tout compte fait, il ne peut pas y avoir de barbier qui rase tous ceux qui ne se rasent pas eux même, et seulement ceux-ci).
Les paradoxes falsidiques sont plus vicieux, car il ne reposent pas sur l'affirmation de chose dont on peut accepter ou dénier l'existence. Dans cette catégorie, on retrouve entre autre les paradoxes de Zénon sur le mouvement, ou encore ces raisonnement mathématiques qui semblent correctes mais te font aboutir à 1=0. On bat ceux-ci en trouvant une erreur dans leur raisonnement, en montrant qu'il y a un problème dans leur chaîne de déduction.
Enfin, les antinomies sont de "vrais paradoxes", sans aucune erreur. On a, chez eux, par exemple, ce bon vieux paradoxe d'Epiménide. Pour battre ceux-ci, Quine ne voit qu'une solution : changer la logique ! Mettre à jour nos règles de déductions, pour éliminer les bugs rencontrés.

Les antinomies d'hier sont donc désormais les paradoxes falsidiques d'aujourd'hui (comme ceux de Zénon), que seul notre surprise distingue des autres erreurs de raisonnement. Quand aux véridiques, avec leur temps, ils deviennent de simples anecdotes, qui ne surprennent plus personne.
Par exemple, que la Terre tourne autour du soleil et non l'inverse -alors que nous voyons le soleil bouger dans le ciel- était appelé "paradoxe copernicien", y compris par les défenseurs de l'héliocentrisme !

A peu près toutes les innovations ont sans doute été vu comme des "paradoxes" lorsqu'on les regardait depuis des paradigmes désuets. Même Newton est très étrange, avec son vide et ses actions sans contact. On finit simplement par s'habituer.
Quand je m'enfonce trop dans les présocratiques, il m'arrive de m'étonner que la Terre soit ronde !

Si la physique quantique semble beaucoup plus obscure, c'est en grande parti à cause de cette incertitude au niveau de l'interprétation. Qu'une chose soit à deux endroits... Bohr te dirait que ce n'est pas le cas, puisqu'il n'y a pas de "chose" quantique à proprement parler. Mais Bohr est le principal responsable de cette confusion. Everett te dirait plutôt qu'il y a un monde dans lequel la chose est ici, et un autre dans lequel elle est ailleurs, et qu'il n'y a pour toi aucune différence entre ces deux mondes avant que tu n’interagisse avec la chose en question. Je ne trouve pas que ça demande plus de contorsion mentale que la relativité générale.

Par contre, pour en revenir avec -1/12, je viens de parler avec un pote matheu, qui me dit "C'est juste qu'il y a des manipulation d'infini, du coup c'est facile de brouiller les gens
Formellement, la somme des entiers est divergente, donc peut pas y avoir de somme. C'est juste un artifice de la fonction Zeta de Riemann, lorsqu'elle est prolongée pour des z<0".

Me voici donc à nouveau perdu... je vais réfléchir un peu.